Les bases élémentaires de l’arithmétique

L’un des principaux objectifs de l’enseignement de l’arithmétique dans le primaire  est de familiariser les élèves avec les nombres et avec les relations que ces nombres entretiennent entre eux.
Pourquoi ? Des calculettes ne rendent-elles pas le même service ? Ainsi, pour constater qu’il n’y a que 25 ans entre le début de la Révolution française et la chute de Napoléon, il suffit de soustraire 1789 de  1814 sur une calculette Pour constater que c’est à peu près le même laps de temps entre la chute du mur de Berlin et notre époque, il suffit de faire une deuxième fois la même opération. Une personne familiarisée avec les nombres opère ce rapprochement en un instant, mentalement, sans interrompre le fil de sa pensée.
Or les nombres purs ou abstraits s’appliquent à toutes sortes de grandeurs et de mesures, et les grandeurs et mesures sont partout dans la vie, de plus en plus chaque jour, en raison de l’évolution technique, et aussi de la sophistication de la gestion économique et fiscale. Dans la marée des informations qui nous assaillent, beaucoup sont chiffrées, et c’est à nous de savoir les apprécier, estimer leur degré de précision ou d’incertitude, voire leur vraisemblance. Car les chiffres qui nous intéressent nous sont  transmis par des journalistes eux-mêmes très souvent peu familiarisés – pour ne pas dire fâchés – avec les chiffres.
L’Education nationale se donne pour objectif d’amener les élèves à l’exercice de la citoyenneté : la familiarité avec les nombres en est un composant essentiel. 

Le programme du primaire en arithmétique comporte trois domaines :

– la numération, c’est-à-dire la convention d’écriture dans le système décimal

– les quatre opérations et leurs dérivés (puissances..) et les conditions de leur application dans le concret
– l’écriture en fractions, les rapports et proportions entre grandeurs et mesures.
Nous ne traiterons ici que de la numération décimale et des quatre opérations.

La numération décimale.

C’est la numération de base 10, pour les 10 doigts de la main. Le nombre représenté par 2734 est la somme de 2 milliers plus 7 centaines plus 3 dizaines plus 4 unités. Il est très important que les enfants abordent ce principe dès la maternelle, en comptant sur les doigts de la main,  en faisant de nombreux exercices avec des objets, enfin en matérialisant les dizaines par des groupes de 10 objets semblables liés entre eux.

 Par la suite ils devront savoir instantanément ce que représente un chiffre selon son rang dans l’écriture du nombre, par exemple le chiffre 7 dans 370249.
Ils devront apprendre à comparer des nombres, d’abord en raisonnant et en expliquant oralement ce qu’ils font, ensuite instantanément.
Ils devront évidemment appliquer ces connaissances à des grandeurs ou mesures concrètes.

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Additions et soustractions.

 On ne se familiarise pas avec les nombres en faisant sur une calculette des additions et soustractions et en essayant de mémoriser les résultats. Ni, non plus, en comptant à partir de 1 chaque nombre et en faisant une barre sur une feuille à chaque fois pour le représenter. Car justement les nombres ont été inventés pour éviter de tels comptages.
On se familiarise avec les nombres en faisant des additions et soustractions par écrit, et en raisonnant. C’est ce qu’on appelle des opérations posées. La présentation des opérations rappelle le principe du système décimal  en alignant bien verticalement les nombres les uns sous les autres de façon que les unités soient alignées sous les unités, les dizaines sous les dizaines etc. Les retenues, avant d’être automatisées mentalement, sont d’abord le résultat d’un raisonnement.
On apprend et utilise les termes « total » pour l’addition de 2 nombres, « différence » pour la soustraction de 2 nombres.
Pour faire rapidement des additions et soustractions posées, il faut connaître par coeur les résultats de l’addition de 2 nombres inférieurs ou égaux à 9, et  les résultats de la soustraction d’un nombre inférieur à 10 ôté d’un nombre inférieur à 20.
Le calcul mental d’additions et de soustractions, répété de nombreuses fois avec des nombres différents, permet d’automatiser certains calculs élémentaires. Ainsi, à la fin du primaire, un élève devrait connaître tous les compléments à 100  (différence avec 100 de tous les nombres  de 2 chiffres) et trouver très rapidement tous les résultats d’addition ou soustraction de nombres à 2 chiffres.
Les parents peuvent trouver de nombreux exemples d’application dans la vie courante ; or actuellement même des adolescents collégiens et lycéens sont très faibles sur ce chapitre. Les élèves devraient être capables de dire à haute voix comment ils procèdent.
N.B. les parents, eux, peuvent vérifier les résultats sur une calculette.

Multiplications.

Multiplier un objet, c’est créer un groupe d’objets identiques; ainsi multiplier un crayon par 7 c’est placer devant soi 7 crayons identiques au premier
Multiplier 2 pommes par 3 c’est faire         2 pommes          2 pommes          2 pommes
                                                                                       3 FOIS 2 pommes
                                                                       ou 2 QUE MULTIPLIE 3   (pommes) 
Le produit de la multiplication est égal à la somme de l’addition 2 + 2 + 2
On apprend les termes Multiplicande  Multiplicateur    Produit
Le calcul posé se fait encore en colonnes verticales. Pour ce calcul posé il faut connaître par cœur, instantanément, le produit de la multiplication de 2 nombres compris entre 0 et 9 (chiffres situés dans la même colonne).  «Instantanément » signifie qu’on ne récite pas la table comme une comptine, mais qu’on sait directement dire que 8 fois 7 font 56 (7×8).
Le calcul mental est difficile lorsque les nombres sont grands,  par contre il permet alors de connaître le résultat en ordre de grandeur (très arrondi), ce qui est suffisant pour éviter des erreurs grossières, particulièrement dans les  calculs faits sur machine.

Divisions.

 La division se fait en parts égales, comme la multiplication se fait sur des "objets" égaux ou identiques.
Le principe et la pratique de la division posée sont plus complexes que ceux de la multiplication.
La division posée exige la connaissance de la table de multiplication « à l’envers » pour tous les nombres inférieurs à 100 :  par exemple 57 égale 8 fois 7 plus 1, 61 égale  7 × 9 moins 2.
On apprend les termes Dividende Diviseur Quotient Reste
Il importe d’étudier ensemble les quatre opérations, en commençant dès la maternelle : les enfants comprennent parfaitement l’idée de partage en parts égales !
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