Les progressions pédagogiques peuvent être trouvées dans de bons manuels, tels que ceux présentés sur notre site.

L’arithmétique repose sur deux bases : d’une part les faits, les objets qu’il convient de dénombrer ou mesurer, d’autre part le raisonnement logique qui met en évidence la nécessité de calculs . L’arithmétique n’est pas née d’un cerveau génial, mais du besoin d’agriculteurs voulant connaître exactement leur troupeau, comme la géométrie du besoin de mesurer des champs.

Un principe d’apprentissage est de toujours rappeler le concret, et ce d’autant plus que l’élève est plus jeune. Ce n’est qu’à un stade assez avancé que l’élève pourra progresser dans des notions purement abstraites.
  

Un second principe est que les mathématiques reposent sur le raisonnement logique, qui s’exprime en français courant, par écrit ou en parlant à haute voix. Rien n’est plus étranger aux mathématiques que d’apprendre par coeur des formules s’apparentant à des recettes ou à des procédures donnant la marche à suivre dans tel cas pour faire ceci ou cela. 

Un troisième principe est la nécessité, pour approfondir les notions, de multiples exercices et de problèmes qui sont une simulation ou représentation simplifiée du réel." Avoir compris" une démonstration n’a aucune utilité tant que l’on ne s’est pas heurté à de nombreuses applications des notions apprises.

La répétition des exercices et des problèmes renforce non seulement la compréhension des relations entre les notions, mais aussi leur mémorisation. Les choses à apprendre par cœur sont peu nombreuses, essentiellement les tables de multiplication. Comme en français, il faut connaître les définitions, c’est-à-dire le sens des termes que l’on emploie.

Au primaire, l’élève devrait acquérir des bases solides directement applicables dans la vie courante : maniement des grandeurs et mesures, du temps, des longueurs, aires et volumes, des formes géométriques simples, des quantités, prix et remises, de taux, échelles, proportions, etc.

Si l’enseignement primaire amène les  élèves à maîtriser un certain degré d’abstraction, il ne peut pas brûler les étapes. En particulier les démonstrations mathématiques se placent entièrement dans l’abstrait (même si la géométrie donne quelque chose à voir) ; elles ne sont généralement pas accessibles à ce stade des études. Les preuves sont donc souvent données par des exemples et sont d’ordre intuitif.

Au collège, il s’agit à la fois de développer les capacités de raisonnement logique dans l’abstrait, et les capacités d’application à des situations réelles – les fameuses « compétences ». Tout cela, pour leur intérêt dans la vie courante (auquel se réfèrent les enquêtes internationales Pisa) et pour permettre à certains élèves de poursuivre des études mathématiques.

Par conséquent, (à quelques exceptions près)

Ces exigences, quelles que soient leurs traductions dans les programmes officiels, traduisent l’impératif de faire progresser en savoir tous les élèves.
Les parents en trouveront une excellente traduction dans l’ouvrage