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le : 10/02/2009 14:48
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Tomi
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LES DIVERS TYPES DE NOMBRES :
(Je m'inspire de mémoire du Lebossé et Emery)
- N : Nombres entiers "0, 1, 2, 3, 4, 5..."
- N*: Nombres entiers sstrictement positifs "1, 2, 3..."
- Z : Nombres entiers relatifs "...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3..."
Le Nombre Zéro est le seul Nombre qui soit à la fois positif et nul.
Démonstration : Ce nombre doit être solution de l'équation : x=-x
2x=o
x=O Cette équation a une solution unique "0"
- Q : Nombres Rationnels : Nombres qui peuvent se mettre sous forme de Fraction. Une Fraction est le raport de 2 Nombres entiers. Ces Nombres peuvent s'exprimer de façon exacte ou approchée par un Nombre Décimal...
- R : Nombres Rationnels et Irrationnels
Un Nombre Irrationnel ne peut se mettre sous forme de Fraction.
Exemples : Racine de 2, Nombre Pi, Nombre e...
En Primaire (année 1960 CM ) j'ai le vague souvenir qu'on enseignait le procédé (= l'algorithme ?) pour extraire la racine carrée d'un Nombre entier.
Je crois que dans le Lebosé et Emery (Collège) on notait par exemple :
- " Q*+ " , l'ensemble des Nombres Rationnels strictement positifs.
- " R*+ " , l'ensemble des Nombres Réels strictement Positifs
- ...
Je pense que ces Notations du Lebossé et Emery sont les plus courantes.
Pour avoir une idée des Réels on considère que ce sont l'ensemble des Points d'une Droite orientée avec une origine correspondant à Zéro (la droite des abscisses dans un repère Orthonormé par exemple). Le point de l'origine est souvent noté "o", la lettre.
Je pense que ces Notations Simples devraient être parfaitement connues en 5è ou au mons enseignées par des Profs de Maths !
Les définitions des Livres Scolaires de Mathématiques ( années 70 )étaient assez claires.
Autant que je puisse m'en souvenir il n'était pas spécifié que l'ensembles des Nombres Rationnels et des Nombres Irrationnels constituaient l'ensembles des Nombres Réels (Nombres permettant de donner la position de tous les points d'une droite orientée, avec une origine).
On dit qu'à chaque Point de la droite correspond un Nombre Réel et que chaque Nombre Réel peut être représenté par un Point de la droite.
On peut dire qu'on a une "bijection" entre les nombres réels et les Ponts d'une droite orientée avec origine.
Pour les Nombres Décimaux on peut donner comme exemple concret :
- les mesure de segments d'une Figure donnée à l'élève, exprimés en Cm.
- la part d'un gâteau exprimé avec une Fraction
Il me semble souhaitable de toujours donner au moins deux Exemples Concrets pour une Notion que je suis obligé de "revoir !?!?!" avec l'ensemble de mes élèves.
Tomi
Ps : Les poètes peuvent se dispenser de ces Notions. Beaucoup s'en dispensent ! Un train qui arrive toujours à l'heure dite, cela peut être terriblement ennuyeux On peut néanmoins être poéte, bon en Arithmétique et trouvé exagéré les grèves à répétition des cheminots !
Les Fonctionnaires avaient la sécurité de l'emploi, travaillaient moins (dans l'ensemble ! ) mais étaient moins payés que dans le Service privé.
CE N'EST PlUS VRAI !
La France s'endette pour payer des Fonctionnaires, comme les Profs mal formés dans les IUFM !
JACQUE MARSEILLE IL Y A DU BOULOT ! POUR APPRENDRE L'ECONOMIE A ASCHIERI ...Lazare Ponticelli un peu plus courageux avait compris... sur le terrain !
Cela me donne des idées pour des exercices de pourcentages !
Jacque Marseille a écrit un livre qui me semble bon. Il cite François Guizot !
"L'argent des Français"
chez Fayard -20 €-
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le : 11/02/2009 17:18
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Tomi
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NOMBRE "e"
Le nombre "e" évoqué au post précédent concerne la Terminale avec l'apprentissage de la fonction logarithme népérien et de la Fonction inverse appelée exponentielle. Cela ne concerne pas le Collège qui finit par le Brevet qui donnait de solides connaissances en Trigonométrie avec l'apprentissage des Théorèmes de Thalès, Pythagore...
Bien expliquées, tout le monde peut comprendre ce que sont les Fonctions Ln et Exp, en Terminale.
NOMBRES : Racine de 2 et PI (au primaire CM)
On ne peut pas trouver ces nombres sous forme de Fraction (ou Nombre Rationnel).
La plupart des élèves du Primaire savaient qu'un Nombre Décimal servait à donner une mesure exacte ou une mesure approchée.
L'exemple de PI était le plus fameux qui donnait la Possibilité de calculer la Circonférence et la Surface d'un Cercle dont on connaissait le Rayon.
On employait bien les termes "Circonférence, Surface, Cercle ", et uniquement ces termes, très "parlant" pour un élève du Primaire.
On précisait bien qu'on ne pouvait donner qu'une valeur approchée de PI.On précisait que plus il y avait de chiffres pour PI plus le résultat pouvait être précis.
L'Instituteur précisait qu'on prenait le plus souvent 2 chiffres après la virgule "3,14".Le Symbole bien connu exprimant ce Nombre était appris aux élèves du Primaire.
On disait aussi pour PI que 22/7 donnait une valeur plus précise que 3,14.
POUR LES CURIEUX... ET LES NIVEAU TERMINALE OU PLUS
- Le Nombre Racine de 2,Irrationnel appartient aussi à l'Ensemble des Nombres Algébriques.
- Le Petit Robert 1993 précise à Incommensurable que les Nombres Irrationnels sont :
soit des "Nombres Algébriques Généraux" c'est à dire des Nombres Algébriques sans partie Imaginaire comme Racine de 2.
soit des Nombres TrANscENdANts comme PI
Tomi
PS En employant des Mots-Clés comme "Nombre Rationnel, Irrationnel, Algébrique, Transcendant" vous pourrez trouver des sites avec des Infos intéressantes.
Si vous savez calculer "a Circonférence et la Surface d'un Cercle" certains sites sont pour vous.
Si vous n'avez pas fait d'IUFM vous aurez assez d'ENtENdemENt pour comprendre pas mal de choses et progresser, car vous ne penserez pas tout savoir.
Pour les Nombres trANscENdANts il vous faudra sans doute admettre que PI, Nombre Irrationnel, n'étant pas un Nombre Algébrique est donc un Nombre trANscENdANt !
- Je contnuerai sur ce fil avec des Infos du Niveau Collège et je m'y maintiendrai. Je pense que ce que j'ai exprimé est correct.
Ne pas hésiter à me reprendre aimablement
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le : 13/02/2009 01:56
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Tomi
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NOMBRES REELS (5è et 6è)
Cette notion des Nombres réels doit être bien connue au collège à partir de la 5è-4è.
Cette notion me paraît souvent floue chez nombre d'élèves car elle n'est pas enseignée de façon assez didactique et synthtique.
L'ensemble R des Nombres Réels ou Réels est constitué :
- 1) de l'ensemble Q des Nombres Rationnels ou Rationnels qui sont des nombres qui peuvent s'écrire sous forme de Fraction.
- 2) de l'ensemble des Nombres Irrationnels, les Nombres réels qui ne peuvent s'écrire sous forme de Fraction.
On donne souvent comme exemples d'Irrationnel : "Racine Carrée de 2" et le Nombre "PI" qui sert à mesurer le Diamètre et la Surface d'un Cercle. Ce Nombre a bien sur d'autres emplois.
Déjà au Primaire on donnait aux élèves deux valeurs approchées de PI 3,14 et 22/7 plus précise.On précisait qu'aucun des deux Nombres n'était une valeur exacte de PI.
Pour que les idées soient très claires il faur préciser à l'élève que l'ensemble des nombres entiers (le dénominateur est 1), comme l'ensemble des Nombres décimaux(en multipliant le numérateur et le dénominateur 1 par une puissance de 10) font partie des Nombres Rationnels puisque ces nombres peuvent aussi s'exprimer sous forme de Fractions. Ces Nombres font donc aussi partie des Nombres Réels.
ENSEMBLE DESNOMBRES REELS ET LES POINTS DE LA DROITE
Il faut aussi préciser qu'on peut faire correspondre à tout Nombre Réel un Point unique sur une droite et qu'à tout Point de la droite on peut faire correspondre un Nombre Réel unique. Il faut avoir donné un point origine sur la droite, un sens à la droite et une unité de mesure qui est le plus souvent le cm .
Cela donne une bonne base de départ à l'élève pour aborder la Trigonométrie en troisième.
Le LEBOSSE et EMERY
Dans le Lebossé et Emery très bien fait pour chaque classe du Collège les termes qui viennent d'être employés étaient clairement définis. Il manquait peut-être un tableau récapitulatif pour l'ensemble des Nombres Réels, "R". Il est bon de rappeler de quels Nombres cet ensemble R est constitué. Un rappel synthétique de ces termes mathématiques favorise leur mémorisation dans le temps.
Une bonne compréhension de ces notions de base pour ceux qui n'ont pas du tout "la bosse des maths" et un intérêt pour cette matière, est même envisageable !
Bonsoir ou plutôt bonjour !
Tomi
Tomi
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le : 14/02/2009 17:53
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Tomi
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CONNAISSANCE DES UNITES DE MESURE EN SIXIEME
Certains élèves ont appris au Primaire quelques unités de mesure et d'autres n'en ont RIEN appris.
Cette semaine j'ai fait travailler une élève de Sixième avec le livre de Maths Bréal.
- Pour un exercice il y avait trois figures1,2 et 3 composées de carrés et triangles(Le triangle faisait la moitié d'un carré de base coupé en deux par une diagonale). Trois unités étaient données : 1)un carré, 2)un triangle 3)deux carrés.
Il fallait donner les surfaces des trois figures dans les 3 unités.
- Pour un autre exercice il fallait donner le Nombre de bouteilles de 1,5 l à acheter. Il fallait auparavant que l'élève calcule un nombre de verres dont la contenance était donnée en cl et qu'il fallait pouvoir remplir.
L'élève n'avait aucune connaissance des unités de mesure de contenance !!!! Cette élève était pourtant logique. Aucun pseudo prof du Primaire ne lui avait enseigné.
J'ai du lui apprendre que 1 litre fait 10 dl; 100 cl; 1 000 ml. C'est moi qui ait du faire le problème et faire les divisions à la main. Par ses réflexions mon élève montrait qu'elle comprenait et avait la logique nécessaire. Le problème est que dans le Bréal on n'apprend pas ce type d'unité (Les autres éditeurs ne font pas mieux) . On doit supposer que c'est connu d'un élève de Sixième
Pour finir la séance je lui ai appris à calculer la Surface d'un rectangles de 8 cm de longueur et 2 cm de largeur. Il a fallu rappeler les différentes divisions du mètre. J'ai dit que la Surface s'obtenait en multipliant la longueur et la largeur et s'exprimait en cm2 .
On a bien vérifier qu'on pouvait faire 16 carrés de 1 cm2 !
Ensuite j'ai repris le même exemple en donnant la Surface et sucessivement une des dimentions du Rectangle pour calculer l'autre.
La longueur et la largeur jouent un rôle identique. Il n'y a pas vraiment de multiplicande et de multiplcateur.
Ce genre d'exercice fait comprendre la multipication et la division.
Quand on demande le prix de 2kg de Pommes sachant qu'1 Kg vaut 2 € le prix est le Multiplicande et le prix à payer le Multiplcateur.
Ces termes ne sont pas à apprendre au Primaire ni au Collége.
L'enseignement des Maths est complètement destructuré.Un élève arrive à comprendre quelquechose quand il a eu un bon Prof NON Constuctiviste !
Le niveau des élèves est tellement varié et souvent très bas, que ce n'est pas facile pour un Prof qui en a le souci, de faire progresser tous les élèves quelque soit leur niveau de départ !
Tomi
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le : 16/02/2009 17:34
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Tomi
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LE PRIX A PAYER EST BIEN SUR "LE RESULTAT!"
"2 Kg à Payer"...pour 1 Kg, dans le post précédent est le Multiplicateur !
Il FAUT (souvent) RAPPELER A UN ELEVE DE SIXIEME :
Données : Prix d'Achat d'un Kg de Pommes 2€/Kg
Quantité achetée 3 Kg
Prix d'Achat = Prix Unitaire * Quantité
Prix d'Achat = 2 * 3
Prix d'Achat = 6
Il vaut mieux prendre des Nombres différents pour les données : 2€/Kg pour le Multiplicande, "le prix d'Achat Unitaire", et 3Kg de Pommes que le Client veut acheter.
ENSUITE ON COMPLIQUE PROGRESSIVENT :
On donne par exemple, le Prix Unitaire et le Prix Payé, et on demande à l'élève de calculer la Quantité achetée.On prend le même Prix Unitaire.
Ensuite change le Prix Unitaire...
Ce n'est pas la peine d'apprendre le terme de Multiplicande, à un élève du Collège. Il ne faut pas lui emcombrer la mémoire inutilement.
AUTRE EXEMPLE : La Vitesse Moyenne Sur une Distance
On donne la formule : Vitesse Moyenne = Distance / Temps
On demande de bien préciser dans le Résultat donné par l'élève, le Nombre calculé et l'Unité.
Ensuite pour faire réfléchir un élève de Sixième, on peut lui demander si des Vitesses Moyennes exprimées ainsi, 60KM/Heure et 1Km/Minute signifient la même chose. Ensuite on peut demander si une Vitesse Moyenne exprimée de la façon suivante, 1Mn/1KM exprime la même chose.
Ensuite on peut demander quel est le résultat en m/s puis...en Km/Heure la Vitesse Moyenne d'un Champion du 100 m qui met 10 S, sur cette distance de 100m !
[...]
Le résultat est -36 Km/heure-
COMPARAISON AVEC UN CYCLISTE :
Un assez bon sportif avec un vélo qui n'a qu'une vitesse (comme cela se faisait souvent autrefois) fait du -40KM/Heure- environ sur une assez courte distance !
J'ai vérifié. Je précise que j'étais... dans la Voiture "lièvre".
Le cycliste pouvait tenir plus de 100M.
Un Gosse ne sait pas que la Vitesse Moyenne d'un Piéton est de 5Km/heure. Ce ne serait qu'avec cette Observation on s'aperçoit qu'on change de Société !
Je sens qu'il va falloir que je fasse un Cahier d'exercice en Arithmétique.
Tomi
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le : 16/02/2009 18:19
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Tomi
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AVEC LES NOUVEAUX PROGRAMMES DU 19 JUIN 2009
-Cela va changer-
Une mère inquiète me demande si son fils en début de CE1 sait la division.Le fils est astucieux et est... un de mes élèves. J'invente le Problème suivant et par oral je lui dis qu'il y a 7 Bonbons dans une Boîte et qu'il faut les partager en Trois. Je lui demande de me dire Combien de Bonbons chacun aura et quel est le reste. La réponse a fusé "2" et "1".
Un élève de CP à la maison ou avec ses amis, se trouve devant déjà devant ce genre de Problème qu'il sait résoudre. Il faut lui dire que résoudre ce genre de Problème constitue une division.
Une élève de CE1 à qui j'expliquais le fonctionnement de la Balance de Roberval, des Poids qu'il faut mettre pour peser 2 Kg me dit qu'elle voit les Prix des fruits sur des "Piques". Sur les étals de fruits on trouve en effet des petits panneaux ou panonceaux qui indiquent les Prix. J'ai une élève observatrice !
La semaine d'après cette élève me dit... qu'on pèse avec une balance avec UN Plateau maintenant et qu'un ticket sort avec le Prix marqué !
Je lui avais appris à compter de 2 en 2 Dès le CP.
Quand un élève est fort je complique et quand il est faible je simplifie un problème. L'élève sait qu'il va finir par trouver !
Tomi
PS
Certains élèves rien qu'en entendant "Cahier d'exercice" en CP et "Fraction" au Collège se renfrognent. Je leur dis alors qu'on va simplement lire l'énoncé.
Comme je l'ai déjà exprimé il faut se réunir quelquefois à plusieurs bénévoles pour savoir ce que signifie l'énoncé d'un problème d'arithmétique !
Pauvres Gamins !
-Avec des Exercices pratique les élèves les moins bons pourraient en savoir deux fois plus en deux fois moins de temps. Le temps économisé pourrait être consacré à d'autres matières "la Course à pied et la Grammaire" par exemple.
-Il faut abandonner rapidement et complètement le Constructivisme ! -
On peut se servir de réflexions d'élèves pour rebondir. OUI MAIS, dans un cours structuré !
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le : 25/02/2009 17:56
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denis
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Interventions: 27
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Sans vouloir vous heurter Toto, votre problème donné à l'enfant de cette mère, ne montre seulement que l'élève sait ce qu'est une division en situation de partage. Or l'enjeu de la division à l'école primaire est double. Comprendre situation de partage et de groupement (division-partition, division-quotition). Car diviser n'a pas le même sens, ne renvoit pas à la même intuition ou idée, lorsqu'on compte le nombre de choses qu'il y a dans chaque paquet constitué (partage) et lorsqu'on compte les paquets (groupement). Par conséquent, cet élève ne "sait" pas la division, il en sait "la moitié", et la plus simple en vérité, celle qui est somme toute naturelle, que je vais même aborder avec mes maternelles. Or toute la difficulté réside dans le passage à la division-quotition, surtout que cela va se jouer à partir du CE1, car avant, j'ignore encore si on peut y réussir.
J'apprécierais aussi qu'au lieu de lister simplement les notions, vous nous donniez la manière de vous les représenter, ou plutôt, la manière dont vous souhaitez que les élèves se les représentent. Vous aviez commencé avec les décimaux compris comme des fractions (typique des programmes de 2002 en primaire) Je suis intrigué de savoir comment vous vous y prenez avec les nombres relatifs, les irrationnels... (le sujet du nombre me préoccupe tout particulièrement).
Note : il est normal que vous rappeliez souvent à un élève de sixième de résoudre un problème de proportionnalité à l'aide d'une multiplication. Ce n'est pas la signification de la proportionnalité au primaire (qui repose sur la linéarité additive et multiplicative). Bref, vous ne faites que votre travail d'introduire une nouvelle signification de la proportionnalité. Sans vouloir vous vexer, je pense que votre signification serait trop complexe pour le primaire, et risquerait de transformer les exercices de proportionnalité en application de recettes de cuisine. Car toute la question est "pourquoi multiplier, diviser, tel nombre par tel autre ?"
[Cette intervention a été corrigée 3 fois, en dernier le 25.02.2009 à 18:02.]
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le : 27/02/2009 12:58
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Tomi
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Je coseille le Dictionnaire élémentaire de Matyhs de Stella Baruk au Seuil.
Il faut que les établissements scolaires l'achétent. Il vaut 50€.Il va pour tout le collège.
Celui indiqué pour le collège va jusqu'en 4è.-30 € environ
J'y reviendrai.
Tomi
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le : 27/02/2009 16:06
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Tomi
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PUB POUR STELLA BARUK ET SES DICTIONNAIRES
1)Le Dictionnaire de Mathématiques élémentaire -50€-
Ce Dictionnaire permet à quelqu'un de répondre à "pratiquement" toutes les Questions d'un élève curieux.
Ce Dictionnaire correspond au niveau du Collège, c'est à dire de la Sixième à la Troisième, année du Brevet.
Ce Dictionnaire est très bien fait et lisible par quelqu'un de logique même purement Littéraire ! C'est pour les profs et les élèves curieux !Ce Dictionnaire indémodable se garde toute la vie !
Il faut le faire acheter dans les Bibliothèques ou l'acheter à 5, chacun donnant 10 € et le faire tourner. C'est un très bon investissement !
2) L'autre intitulé Dictionnaire Collège CM 2 vaut en fait 39,50 €.
Il va en fait du CM2 jusqu'à la quatrième. Il mentionne donc le Cosinus et pas le sinus ! qui devraient rester du Programme de Troisième.
Tomi
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le : 02/03/2009 23:30
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Tomi
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LES UNITES
Un élève de Sixième très souvent ne connaît rien des unités de mesure simple.
Par exemple il ne sait pas que 1 l correspond à 1 dm3 ou 1000 cm3. C'est le cas de l'élève que j'ai évoqué dans le fil. Je n'ai pas eu le temps de lui expliquer ce que sont les unités de volumes. Cet élève n'avait pas appris quelles étaient les Unités usuelles de mesure des Surfaces.
REVISION SUR LES UNITES
Pour les Unités de Mesure on peut aller à Unité dans Le Petit Larousse qui en répertorie un Bon nombre.
Le Dictionnaire de Mathématiques élémentaires de Stella Bartuk est vraiment bien fait. Son coût est de 54 € en fait.Il vaut mieux procurer ce Dictionnaire dans les Bibiothèques que celui pour Collège et CM1 (39,90€)
Stella Baruk a beaucoup écrit sur les Maths.
A SUIVRE !
Tomi
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