L'objectif est de faire acquérir aux élèves la connaissance des nombres entiers naturels (0,1,2,3...), de leur écriture décimale et de leurs relations élémentaires (ordre et quatre opérations), à la fois abstraitement et dans leurs usages concrets liés au comptage et à la mesure : longueurs, surfaces, volumes, masses, temps, angles. A l'issue du cursus primaire, les élèves doivent posséder une maîtrise aisée, exacte et sûre des opérations élémentaires sur les nombres et les grandeurs et de la manipulation des unités ; ils doivent aussi savoir rédiger de façon concise et rigoureuse la solution de problèmes de calcul formulés dans la langue courante, tirés de la vie pratique, des sciences de la nature ou de la mécanique, et nécessitant un raisonnement de nature discursive.
Ces connaissances – dont la plupart sont très utiles – ont une grande valeur mathématique ainsi qu'une puissance formatrice considérable.
Elles permettent de construire une relation d'intimité avec les nombres, selon l'expression de René Thom, et entraînent à leur usage concret. Non seulement elles contribuent à structurer l'esprit tout au long de son développement mais elles constituent la base indispensable d'un apprentissage plus poussé des mathématiques et des sciences de la nature, au collège et bien au-delà. Il existe en mathématiques bien des sortes de nombres, d'additions et de multiplications, et en physique bien des sortes de mesures. Toutes prennent racine et se développent sur ce terreau qu'est la connaissance des nombres entiers naturels et de leurs opérations élémentaires, connaissance qui doit devenir une seconde nature.

A l'école primaire la discipline du calcul repose sur l'usage des quatre opérations sur les nombres entiers. Elle s'étend à la connaissance et au calcul des nombres décimaux et des fractions, en se limitant aux nombres positifs qui seuls peuvent représenter des mesures effectives de longueurs, de masses, etc. Le calcul approché est plus subtil que le calcul exact dont il demande la maîtrise préalable : le calcul des intervalles d'erreurs ne saurait apparaître à l'école primaire mais on y enseigne – notamment pour la résolution des problèmes – l'estimation mentale des ordres de grandeurs par les nombres ronds et la notion de valeur approchée d'un quotient au dixième ou au centième de l'unité choisie.
Le calcul se fait sur des nombres, non sur des inconnues abstraites. Les vérifications portent sur des exemples et des figures, dans des raisonnements suffisants pour emporter la conviction même s'ils ne peuvent être qualifiés de démonstrations formelles. En fin de cursus primaire l'instituteur peut éventuellement aller un peu plus loin dans le sens de l'abstraction, pour ceux des élèves qu'il reconnaîtrait comme assez mûrs et déjà assurés dans leurs connaissances.

La mise en oeuvre efficace de ces principes demande une grande régularité dans les leçons et du temps : il faut rétablir les horaires de mathématiques – comme ceux de français et des autres disciplines à enseigner sérieusement – qui ont prévalu dans les écoles primaires jusqu'en 1969. Les activités (sorties à répétitions, « animations pédagogiques » diverses, visites d'intervenants extérieurs, stages et réunions à répétitions imposés aux instituteurs) qui mangent les horaires de ces disciplines doivent être proscrites. Le principe du découpage de l'année scolaire par quatre périodes de vacances de deux semaines est sans doute à remettre en cause.
D'autre part la formation des futurs instituteurs demande une refonte totale. Les prétendues « sciences de l'éducation » qui dominent les IUFM ne permettent pas de donner aux futurs instituteurs des connaissances mathématiques (et autres) suffisantes ni ne les forment à enseigner de manière rigoureuse, structurée et progressive.


L'intimité avec les nombres se construit :
– par l'acquisition d'automatismes (au premier rang desquels figure la connaissance parfaite des tables d'addition et de multiplication, ainsi que la pratique des algorithmes de calcul écrit et de calcul mental des quatre opérations),
– par la diversification des situations (en particulier, la manipulation des nombres et les opérations sur eux, à la fois dans différents contextes concrets où interviennent des grandeurs physiques, et abstraitement),
– par la multiplicité des exemples d'application (comme la connaissance d'un bon nombre de formules de surfaces et de volumes), dont on montre à la fois ce qu'ils ont en commun et ce par quoi ils diffèrent,
– par la diversification des approches (par exemple, le calcul mental et le calcul posé comme deux modes du calcul),
– et par la constitution d'un réseau de liens (par exemple, la correspondance entre l'écriture décimale et les systèmes de multiples et de sous-multiples des unités de mesures usuelles, ou bien l'équivalence entre les deux écritures d'un nombre décimal, celle avec virgule et celle comme fraction avec une puissance de 10 pour dénominateur).

Le maître mot de l'apprentissage du calcul – comme de tout apprentissage – est la progressivité : on chemine du plus simple vers le plus élaboré, en particulier des petits nombres vers des plus grands, et des figures géométriques les plus élémentaires vers d'autres plus complexes, sans brûler aucune étape. Les notions nouvelles doivent être introduites l'une après l'autre, en s'appuyant sur les connaissances déjà acquises ainsi que sur l'intuition. De même, les liens nouveaux entre des notions déjà connues doivent être mis en évidence un par un. Autrement dit, les élèves doivent toujours savoir exactement de quoi l'instituteur est en train de parler. Toute introduction d'une notion nouvelle ou d'un lien nouveau est l'occasion de faire des rappels ; il ne faut pas manquer de procéder à tous ceux qui s'imposent naturellement dans le contexte considéré.
Toute notion ou toute pratique nouvelle est désignée par un ou plusieurs termes mathématiques précis (par exemple pour la multiplication, les notions de multiplicande, de multiplicateur et de produit, ou pour la division, celles de dividende, de diviseur, de quotient et de reste) qu'on introduit aussitôt ; les élèves doivent les apprendre.

Le développement des mathématiques est en partie fondé sur le besoin de systématisation de l'esprit humain : un ensemble de connaissances qui pousse jusqu'au bout sa logique sous-jacente est plus satisfaisant pour l'esprit et plus aisé à comprendre et à assimiler. Respecter ce principe dans une discipline telle que le calcul élémentaire facilite l'apprentissage et renforce l'exigence logique des enfants. C'est pourquoi les élèves doivent connaître en fin de cursus primaire les algorithmes généraux des quatre opérations sur les nombres, sans limitation sur le nombre de chiffres. C'est aussi
pourquoi on enseigne les fractions, qui permettent de diviser un nombre quelconque par un autre.
Chaque fois que l'esprit peut en retirer une plus grande complétude, on met en évidence des couples de notions : par exemple, l'addition et la soustraction vues comme deux opérations inverses, de même que la multiplication et la division.

L'apprentissage de la numération et celui des quatre opérations sont simultanés ; ils commencent dès la fin de l'école maternelle ou le début du CP, en se limitant d'abord aux nombres très petits.
Le cheminement vers des nombres de plus en plus grands doit s'effectuer très progressivement. Les étapes les plus importantes qui le ponctuent sont l'introduction des dizaines et de la première écriture décimale, puis des centaines, puis le développement de cette écriture avec les classes des milliers, des millions, etc.
Dès le début de l'apprentissage, la numération et les opérations doivent porter sur plusieurs types d'objets familiers aux enfants, en répétant inlassablement que l'on ne peut additionner ou soustraire que des objets de même nature. Le lien avec les nombres abstraits se fait en multipliant des exemples concrets formellement identiques.
L'addition est d'abord introduite comme un ajout (qui augmente le nombre), la soustraction comme un retrait (qui le fait diminuer), la multiplication comme un ajout répété de paquets identiques et la division comme un partage en paquets égaux.